Les grandes lignes qui se croisent dans le plan de la spirale d’Ulam ne sont pas contestables : elles sont là et bien là. Et pourtant, elles ne livrent aucune clé car elles sont inexhaustives et imparfaites.
Prenons la diagonale qui descend vers la gauche, que j’ai marquée d’un pointillé vert : 5, 19, 41, 71, 109. La « raison » (comme disent les mathématiciens) de cette suite ne saute pas immédiatement aux yeux mais DeepSeek me fait observer que l’écart entre les nombres suit une progression arithmétique, augmentant de 8 à chaque itération :
- 19-5 =14
- 41-19 =22 (=14+8)
- 71-41=30 (=22+8)
- 109-71=38 (=30+8)
Cette suite évolue en fonction d’une règle polynomiale qui (me souffle le même DeepSeek) peut s’écrire : f(n)=4n²+2n-1, suite qui produit souvent des chiffres premiers, par exemple quand x varie de 1 à 5 :
- (4×1²)+(2×1)-1=5
- (4×2²)+(2×2)-1=19
- (4×3²)+(2×3)-1=41
- (4×4²)+(2×4)-1=71
- (4×5²)+(2×5)-1=109
A partir de 6, la série s’arrête. Plus exactement, la fonction continue à produire des chiffres mais ils ne sont plus premiers ; plus précisément, ils ne sont plus tous premiers.
Si l’on prend les premiers quarante nombres de la suite, alignés sur la diagonale 5,19, etc., on a : 5, 19, 41, 71, 109, 155, 209, 271, 341, 419, 505, 599, 701, 811, 929, 1055, 1189, 1331, 1481, 1639, 1805, 1979, 2161, 2351, 2549, 2755, 2969, 3191, 3421, 3659, 3905, 4159, 4421, 4691, 4969, 5255, 5549, 5851, 6161, 6479.
La capacité de la suite-ligne à générer des nombres premiers est donc à éclipses, pulsant un instant, s’interrompant puis reprenant comme un dauphin qui nagerait à la surface de la mer, plongerait sous la surface puis resurgirait au soleil. Il y a bien là une sorte d’ordre, puisque la ligne est clairement repérable et qu’elle produit, souvent, des suites remarquables de quatre ou cinq nombres premiers consécutifs mais on ne saisit pas la cause sous-jacente de ces émergences et disparitions ; on ne distingue pas le tempo (ou le rythme ; je n’ai toujours pas compris la différence, Claude) de cette mélodie des nombres.
Ce qu’on voit et entend, ce sont des ordonnancements localisés, des pulsations, de petits bouts de lignes dans la grande diagonale, petits bouts au sein desquels, on ne sait pourquoi, quelque chose de construit paraît l’emporter sur l’entropie ambiante. Peut-être y a-t-il, cachée dans des dimensions supérieures, une fonction polynomiale de degré z ou une spirale d’Ulam venue d’une autre dimension qui rend compte de ce qui est, qui justifie ces soubresauts de l’univers mathématique. Mais pour l’heure, on ne la connaît pas. On voit seulement ces îles, ces îles de primarité se suivant à la queue-leu-leu dans l’océan des nombres comme un chapelet d’Aléoutiennes qui s’effilocherait peu à peu, et on entend seulement le battement irrégulier, la sorte de tachycardie du grand pouls arithmétique.
Quelque chose, quelque part, bat avec force, dont les lignes de la spirale d’Ulam trahissent les échos, ou peut-être les vibrations.
En accompagnement musical, Dans l’antre du roi de la montagne, d’Edvard Grieg, avec son tempo (ou peut-être son rythme ?) qui s’accélère comme ralentit celui des nombres premiers.