dimensions

Dimensions des nombres


 

Les nombres premiers sont les nombres insécables, qui ne peuvent être décomposés en produits de nombres entiers : ils sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, etc. Ils constituent une longue suite – infinie, cela a été montré – qui fascine les hommes depuis la plus haute antiquité parce que ces nombres, une fois multipliés entre eux, permettent de former tous les autres nombres, et qu’ils sont donc les atomes de base de l’univers mathématique, si ce n’est de l’univers tout court. Or ces nombres sont également très mystérieux car si l’on a progressivement appris à connaître les lois qui régissent leur répartition statistiques, on ne sait néanmoins pas prédire leur apparition.

Si l’on tourne maintenant un peu les yeux sur le côté et qu’au lieu de s’intéresser seulement aux nombres premiers on s’intéresse aussi aux autres, on voit qu’on peut catégoriser tous les nombres selon ce que j’appelle leur dimension, qui porte peut-être un autre nom. J’appelle dimension d’un nombre le nombre de nombres premiers dont il est le produit : 4 est de dimension 2, ainsi que 6, parce que 4 égale 2 fois 2 et que 6 égale 2 fois 3 : 30, en revanche, est de dimension 3 parce que 30 égale 2 fois 3 fois 5 . De la même façon, 40 est de dimension 4 parce que 40 égale 2 fois 2 fois 2 fois 5, et 30 030 de dimension 6 parce que 30 030 égale 2 fois 3 fois 5 fois 7 fois 11 fois 13.

Si l’on essaie de représenter cela graphiquement, en mettant la suite des nombre en abscisse et leur dimension en ordonnée, on obtient le schéma suivant, qui fait penser à un boulier, une carte perforée ou la partition de ce qui serait probablement une cacophonie :

 

Sur la ligne 1, figurent les nombres premiers, qui sont de dimension une. On voit qu’au fur et à mesure que les nombres grandissent, ils se raréfient. Les nombres de dimensions 2 et 3 sont apparemment les plus communs, les plus nombreux et on ne distingue as, à vue d’œil, sur ce petit échantillon, de grande variation dans leur densité. Et puis, au fur et à mesure qu’on avance dans la suite des nombres, on voit apparaître des nombres de dimensions supérieures. Ce sont toujours les puissances de 2, familières aux informaticiens, qui apparaissent les premières : 4, qui est 2 fois 2, est le premier nombre de dimension 2 ; 8, qui est 2 fois 2 fois 2, est le premier nombre de dimension 3 ; 16, qui est 2 fois 2 fois 2 fois 2, est le premier nombre de dimension 4, et ainsi de suite : 32, 64, 128, 256, 512, etc.

Des nombres de dimension supérieure apparaissent et l’on devine que plus on ira loin plus l’on découvrira des nombres de dimensions importantes – le premier nombre de dimension 20 est 1 048 576, c’est-à-dire 2 puissance 20 – mais  la dimension moyenne des nombres augmente-t-elle continûment pour autant ? je n’en suis pas sûr. Quand on trace la courbe qui représente cette dimension moyenne, on voit qu’elle a une allure logarithmique et je ne suis pas certain que son asymptote soit une droite croissante.

 

Mais le plus important n’est pas là.

Le plus important est, en revenant au premier graphique, le fait que cet ordonnancement ne soit pas incohérent, ne soit pas aléatoire. Je ne distingue pas la règle qui est en action, la loi qui est à l’oeuvre derrière cette sorte de boulier. Cela m’échappe et me demeure totalement incompris mais je perçois que ça n’est pas forcément incompréhensible, et là est la merveille.


En introduction et prolongement musicaux, les Pleureuses assyriennes, de Georges Gurdjieff, dans la belle version de Anja Lechner et Vassilis Tsabropoulos.

Gurdjieff

Les “commandements” de Gurdjieff

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Alexandro Jodorowsky, dans une sorte d’autobiographie romancée et fantastique intitulée Mu, le maître et les magiciennes, raconte sa rencontre avec Reyna d’Assia, qui se présente un jour à  lui à  Mexico comme la fille de Georges Gurdjieff.

Leurs débats et ébats sont extraordinaires car elle sait bien des choses, et voici qu’à l’issue d’une nuit délicieuse et éprouvante, une discussion s’engage entre Reyna et Alexandro, portant sur les enseignements de Georges Gurdjieff, les bases de sa conception des choses.

Reyna évoque alors les immenses possibilités et pouvoirs ouverts à  ceux qui, dépassant l’individu qui est en eux, transcendant leurs finalités personnelles, savent se fondre dans le tout, dans l’humanité, dans Dieu. Et Alexandro  étant sceptique sur ces pouvoirs magiques, surhumains, divins, évoqués par Reyna comme étant accessibles à  tous dès lors qu’on s’en donnerait la peine, il explose :

Conte de fées, Reyna ! Finalités cent pour cent utopiques ! Et si c’était des vérités, quel est le premier pas qu’il faudrait faire pour y parvenir ?

Et Reyna de répondre alors :

Celui qui désire atteindre le but suprême doit d’abord changer ses habitudes, vaincre la paresse, devenir un homme moral. Pour être fort dans les grandes choses, il faut l’être aussi dans les petites. […] On nous a mal éduqués. Nous vivons dans un monde compétitif où l’honnêteté est synonyme de naïveté. Nous devons développer de bonnes habitudes. Certaines d’entre elles paraissent simples, mais elles sont très difficiles à  réaliser. Les croyant insignifiantes, nous ne nous rendons pas compte qu’elles sont la clé de la conscience immortelle. Je vais te dicter les commandements que mon saint père m’a enseignés“.

Suivent 82 préceptes (certains les ont comptés) qui ne présentent aucun caractère mystérieux, ésotérique ou occulte mais dessinent une façon de se comporter avec soi-même et les autres, un hygiènee de vie et de pensée à  laquelle on ne peut que souscrire. On y retrouve de nombreuses idées déjà  prônées par diverses philosophies, sagesses, religions ; on retrouvera ça et là  des conseils qu’on pourrait trouver sous la plume de Sénèque, Marc-Aurèle ou Kipling, mais l’ensemble forme un corpus cohérent dont le format ramassé et synthétique séduit.

Ce sont ces règles qui sont lues dans l’enregistrement.